Борис Александрович родился 22 ноября 1958 в Магнитогорске, в 17 лет начал работать на ММК, работал учеником контролёра. Вскоре его призвали в армию, по окончании службы Дубровский вернулся на комбинат слесарем, затем работал бригадиром, старшим мастером, начальником прокатного отделения, заместителем начальника, начальником листопрокатного цеха и главным прокатчиком.

В 1990 году с отличием окончил Магнитогорскую горно-металлургическую академию по специальности «Обработка металлов давлением», в 2001 году — Академию народного хозяйства при Правительстве РФ.

В 2000 был назначен заместителем коммерческого директора — начальником управления оборудования, в 2002 г. — техническим директором — главным инженером ММК. С 2002 по 2003 год по совместительству был генеральным директором ОАО «Магнитогорский метизно-металлургический завод». С 2003 по 2008 работал директором по сбыту на внутреннем рынке, директором по сбыту, исполнительным директором ОАО «Магнитогорский металлургический комбинат». С 2009 по май 2011 Борис Александрович - первый заместитель генерального директора «Уралвагонзавода». И, наконец, с мая 2011 по 15 января 2014 года являлся генеральным директором ММК. В ноябре 2012 года он был включён Forbes в рейтинг "25 самых дорогих топ-менеджеров России", где занял 13-е место с годовой компенсацией $7 млн.

Со вчерашнего дня, после отставки губернатора Челябинской области Михаила Юревича, Дубровский назначен временно исполняющим обязанности губернатора Челябинской области. Южноуральский политолог Андрей Лавров отметил по этому поводу, что теперь в области усилится влияние магнитогорской элиты.